【数据分析】线性及逻辑回归模型和Python实现
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Python 初阶
Python–语言基础与由来介绍
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Python–语句与众所周知
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数据分析—推断统计学及Python实现
目录
回归模型是机器学习中很重要的一个数学模型
机器学习
- 简单线性回归
- 多元线性回归
- 逻辑回归
线性回归模型简介
相关关系
- 正相关
- 负相关
- 不相关
相关系数r
- 研究变量之间 线性关系 的相关程度
- 即衡量已知数据的相关性
- 越接近1，表示越接近线性正相关
- 越接近-1，表示越接近线性负相关
- 越接近0，表示越接近线性不相关
r
=
n
∑
x
y
−
(
∑
x
)
(
∑
y
)
[
n
∑
x
2
−
(
∑
x
)
2
]
[
n
∑
y
2
−
(
∑
y
)
2
]
r=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2-(\sum x)^2][n\sum y^2-(\sum y)^2]}}
r=[n∑x2−(∑x)2][n∑y2−(∑y)2]n∑xy−(∑x)(∑y)
r：皮尔逊积矩相关系数，表示两个变量间的线性关系强度和方向，其阈值为[-1，1]
x：通常作为自变量
y：通常作为因变量
∑
\sum
∑ ：求和符号，表示加和一系列数值
在多元线性回归中发现两个自变量相关系数r绝对值大，去除其中的一个自变量
例如：超过0.8或0.9可以考虑移除其中一个
- 因为一般认为相关系数大于0.8及以上，会导致严重共线性问题
共线性问题
- 若本身两个变量间是高度相关的，而处理过程中将两个变量认为不相关/相互独立的，会导致 系数估计不准确，从而对预测产生影响
例如：若男性和女性两个变量分别设置两个虚拟变量，会导致共线性问题- 因为男和女这两个变量本身是高度相关的，所以设置一个虚拟变量即可（1设成男，0设成女或者1设成男，0设成女），且当知道N-1虚拟变量值时，可以直接推导出第n个值，说明他们之间存在相关联，则设第n个虚拟变量是没必要的，会导致共线性问题
回归线
- 去拟合图中的数据点，尽可能的去靠近图中每个数据点的直线
残差
- 回归线的实际观测值与估计值（拟合值）之间的差
拟合目标
- 让所有残差的平方和最小
更专业的术语
- 最小二乘法
- 通过最小化残差的平方和来找到最好的模型参数
除了相关系数r 也要关注 p值
在独立双样本t/z检验中有一个叫做p值
p值小（拒绝原假设）
- 自变量对因变量有统计显著性影响
- 自变量对因变量有显著预测作用
p值大（接受原假设）
- 自变量对因变量无统计显著性影响
- 自变量对因变量无显著预测作用
p值大的自变量可选择剔除（因为该自变量对因变量无显著预测作用），再进行多轮拟合，再反复调整去求截距和系数，可以降低对预测值的干扰和误导
线性回归模型预测拟合度
R2 衡量线性回归模型整体的预测拟合度
- R2的范围值 [0，1]
- 越接近 1，说明模型的预测值与实际观察值相差越小，使得线性回归模型整体和实际高拟合
- 越接近 0，说明模型的预测值与实际观察值相差越大，使得线性回归模型整体和实际低拟合
R
2
=
1
−
∑
i
=
1
n
(
y
i
−
y
^
i
)
2
∑
i
=
1
n
(
y
i
−
y
ˉ
)
2
R^2=1-\frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i-\hat{y}_i)^2} {\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}
R2=1−∑i=1n(yi−yˉ)2∑i=1n(yi−y^i)2
y
i
y_i
yi：第i个观测因变量值
y
ˉ
\bar{y}
yˉ：所有观测因变量值的平均值
y
^
i
\hat{y}_i
y^i：由模型给出的第i个观测的观测因变量值
虚拟变量
在线性回归模型中表示分类变量要引入虚拟变量
- 即只取0和1这两个值的变量
根据分类的类别，若有n种类型，则引入n-1个虚拟变量
- 若引入n个虚拟变量，则会引起共线性问题
pd.get_dummies（DataFrame名, columns=[" 分类变量"], dtype=int, drop_first） 将分类变量 转化为虚拟变量0/1,且删除 第1个引用的虚拟变量（从而保持 n-1个虚拟变量）
逻辑回归模型简介
逻辑回归
- 处理二分类问题，只能在零和一之间
- 要设置阈值，一般为0.5，但可以根据具体情况来调整阈值
拟合程度
最大似然估计
- 需要用到数值优化算法（例如其中的梯度下降等）来寻找最优参数值
需要排除 高度相关的变量，否则会导致数值优化算法无法收敛的问题，无法计算出模型参数值
最优参数值
- 在这参数值下观察到的样本出现的概率是最大的，从而让模型预测和样本之间差距越小
求出最优参数值后，看p值
看自变量的系数值，然后对自然常数e 求系数的那个值的次方，反映的是自变量对因变量的倍数影响
线性回归Python具体实现
简单线性回归 y=b0+mx
- 预测未知数据，用 自变量值来预测因变量值
- 因变量只受到一个自变量影响
多元线性回归 y=b0+b1x+b2x+…+bnxn
- 因变量 受到 多个自变量影响
- 自变量应该相互独立，不应该高度相关
- 否则导致对系数估计不准确
- 自变量应该相互独立，不应该高度相关
y
=
b
0
+
m
x
y= b_{0}+mx
y=b0+mx
或者
y
=
b
0
+
b
1
x
+
+
b
2
x
+
.
.
+
b
n
x
n
y= b_{0}+b_1x++b_2x+..+b_nx_n
y=b0+b1x++b2x+..+bnxn
b
=
∑
y
i
−
m
(
∑
x
i
)
n
b=\frac{\sum y_i-m(\sum x_i)}{n}
b=n∑yi−m(∑xi)
m
=
n
(
∑
x
i
y
i
)
−
(
∑
x
i
)
n
(
∑
x
i
2
)
−
(
∑
x
i
)
2
m=\frac{n(\sum x_iy_i)-(\sum x_i)}{ n(\sum x_i^2)-(\sum x_i)^2}
m=n(∑xi2)−(∑xi)2n(∑xiyi)−(∑xi)
y：因变量
b
0
b_0
b0：y轴截距，可以视为 与常量1相乘
m,
b
1
b_1
b1,
b
2
b_2
b2…
b
n
b_n
bn：斜率（也称系数）
x：自变量
x
i
x_i
xi ：第i个观测的自变量值
y
i
y_i
yi ：第i个观测的因变量值
先安装 statsmodels库，并引入模块：import statsmodels.api as sm
y=DataFrame名[" "] 提取因变量
x=DataFrame名.drop[" ",axis=1] 删除掉因变量从而提取自变量
或者
x=DataFrame名[[" "]] 选择提取自变量
自变量1.corr（自变量2） 验证自变量间的相关性
- 结果越接近1 说明越相关
- 结果越接近0 说明越不相关
或者
DataFrame名.corr（） 自动对各变量之间找相关系数
.abs（） 得到所有元素绝对值
- 还可以搭配热力图heatmap，一眼看出颜色深浅
以相关系数0.8作为阈值，进行筛选相关自变量，确保不会导致共线性问题，然后开始求截距
sm.add_constant（参数） 将截距常量1纳入模型
sm.OLS（因变量，自变量） 最小二乘法
.fit（） 对数据进行拟合并生成一个实例
.summery（） 对实例进行展示
当得到线性回归模型后，进行预测
pd.Categorical（DataFrame[分类变量]， categories=[" "]） 将分类变量 转化为category类型
- categories 该参数可以告诉系统虚拟变量的全部类型
再get_dummies（） 将分类变量转化为虚拟变量
线性回归模型.predict（传入包含所有自变量的DataFrame） 预测模型
- 要求：每列都是 模型中的自变量（不多不少），这样每行才是一个要预测的观测值
结构流程图
在模型中没有标准答案，去尝试、调整、验证模型
逻辑回归Python具体实现
逻辑回归 l o g ( p 1 − p ) = b 0 + b 1 x + b 2 x + . . + b n x n log(\frac{p}{1-p})=b_0+b_1x+b_2x+..+b_nx_n log(1−pp)=b0+b1x+b2x+..+bnxn
l
o
g
(
p
1
−
p
)
=
b
0
+
b
1
x
+
b
2
x
+
.
.
+
b
n
x
n
log(\frac{p}{1-p})=b_0+b_1x+b_2x+..+b_nx_n
log(1−pp)=b0+b1x+b2x+..+bnxn
p
=
1
1
+
e
−
(
b
0
+
b
1
x
+
b
2
x
+
.
.
+
b
n
x
n
)
p=\frac{1}{1+e^{-(b_0+b_1x+b_2x+..+b_nx_n)}}
p=1+e−(b0+b1x+b2x+..+bnxn)1
p：因变量y=1的概率（ y是二元变量，只能取0或1）
x
1
x_1
x1,
x
2
x_2
x2,
x
3
x_3
x3,…
x
n
x_n
xn：预测变量
b
0
b_0
b0,
b
1
b_1
b1,
b
2
b_2
b2,…,
b
n
b_n
bn是回归系数
先导入模板：import statsmodels.api as sm
pd.get_dummies（DataFrame, columns=[" 分类变量"], dtype=int, drop_first）将分类变量转化为虚拟变量
.corr（） 排除共线性问题
.abs（） 转化为绝对值
sm.add_constant（） 截距常量1纳入模型
sm.Logit（因变量，自变量） 最大似然估计
.fit（） 对数据进行拟合并生成实例
.summary（） 查看输出
先看p值看哪些变量没有显著预测作用，一般设置阈值为0.05，再看 codf系数，但要将该系数翻译成自然语言e的倍数
np.exp（） 计算e的多少次方
.predict（） 预测模型
项目实战一
项目实战-线性预测房屋价格数据，已上传到GitHub
本人CSDN博客主页资源上也有该项目实战
项目简介：
线性预测房屋价格加清洗评估加分析-项目实战5-分析房屋价格数据-ipynb格式-Python语法-用Jupyter notebook打开
用来练习 多元线性回归及预测和清洗评估和分析，整个流程特别清晰
每个步骤均用Makedown编辑器进行编辑文字，每一步都给出了清晰的代码以及压缩包中给出了相应的数据集
可以按照步骤一步一步进行模仿，理解其中的思维逻辑，然后上手进行操作，在操作的过程中不断思考
等能力有了很大提升之后，就可以慢慢独立思考从事项目了
项目实战二
项目实战-逻辑回归预测 船上人员幸存情况数据，已上传到GitHub
本人CSDN博客主页资源上也有该项目实战
项目简介：
逻辑回归预测船上人员幸存情况 加清洗评估加分析—项目实战6—分析船上人员幸存数据—ipynb格式—Python语法—用Jupyter notebook打开
用来练习 逻辑回归预测船上人员幸存情加清洗评估加分析，整个流程特别清晰
每个步骤均用Makedown编辑器进行编辑文字，每一步都给出了清晰的代码以及压缩包中给出了相应的数据集
可以按照步骤一步一步进行模仿，理解其中的思维逻辑，然后上手进行操作，在操作的过程中不断思考
等能力有了很大提升之后，就可以慢慢独立思考从事项目了
好的，到此为止啦，祝您变得更强
想说的话
实不相瞒，这篇博客写了9个小时以上（加上自己学习了三遍和纸质笔记，共十一小时吧），很累，希望大佬支持
| 道阻且长 行则将至 |
|---|
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