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卷积的通俗解释
时刻的信号 f(t),f(t - 1),f(t - 2),f(t - 3),…个时间单位,如果 “作用力的变化” 可用 g(t) 来刻画,f(t),f(t - 1),f(t - 2),f(t - 3),…然后将 f(t),f(t - 1),f(t - 2),f(t - 3),…,这样反而不好理解,不过有了我这个解释后也就好理解了,0 时刻的信号 f(0) 作用了 t 时间,以此类推,1,2,3,4
以时间和空间两个维度分别理解卷积,先用文字来描述:
- 时间上,任何当前信号状态都是迄至当前所有信号状态的叠加;
- 时间上,任何当前记忆状态都是迄至当前所有记忆状态的叠加;
- 空间上,任何位置状态都是包括其自身在内的周边位置状态的叠加。
以信号 f(t) 为例,在 t 时刻的信号状态是所有 t, t -1,t - 2,t - 3,… 时刻的信号 f(t),f(t - 1),f(t - 2),f(t - 3),… 作用到当前的状态叠加,这些历史时刻的信号迄至当前分别持续了 0,1,2,3,… 个时间单位,如果 “作用力的变化” 可用 g(t) 来刻画,f(t),f(t - 1),f(t - 2),f(t - 3),… 在当前的作用力分别为 g(0),g(1),g(2),g(3),… 然后将 f(t),f(t - 1),f(t - 2),f(t - 3),… 在当前的作用力叠加起来就是了。
那么在叠加之前为什么是 f,g 相乘,即为什么是 “积”?
g(t) 解释为 “‘单位信号’ 随着时间流逝的作用力” 就高尚了。单位信号就是单位 1 的作用,即 “单位冲激”,1 个信号强度随时间流逝的作用力是 g,即 “单位冲激响应”,描述系统的特征,那么在线性系统(不解释叠加性,时不变性了)中 f 的信号强度随时间的作用力自然就是 f*g。
根据以上的段落,f(t) 的作用力是 f(t)*g(0),f(t - 1) 的作用力是 f(t - 1)*g(1),f(t) 的作用力是 f(t - 2)*g(2),以此类推,f(t - r) 的作用力是 f(t - r)*g®,将所有这些加在一起就是了,连续版本如下:
∫ 0 t f ( t − τ ) g ( τ ) d τ \int_0^tf(t-\tau)g(\tau)d\tau ∫0tf(t−τ)g(τ)dτ
这就好理解了,注意,我这个写法和很多教科书上是反着的,教科书上一般都是 ∫ 0 t f ( τ ) g ( t − τ ) d τ \int_0^tf(\tau)g(t-\tau)d\tau ∫0tf(τ)g(t−τ)dτ,这样反而不好理解,不过有了我这个解释后也就好理解了,0 时刻的信号 f(0) 作用了 t 时间,以此类推,1,2,3,4 时刻的信号分别持续了 t - 1,t - 2,t - 3,t - 4 时间。
总结一下,如下图:
来看一个离散的例子,移动指数平均。
设时刻 t 的采样值为 v t v_t vt,它在整体移动指数均值中的作用按系数 β \beta β 衰减,那么时刻 t - 1,t - 2,t - 3,… 的采样作用分别为 v t − 1 ⋅ β 1 v_{t-1}\cdot\beta^1 vt−1⋅β1, v t − 2 ⋅ β 2 v_{t-2}\cdot\beta^2 vt−2⋅β2, v t − 3 ⋅ β 3 v_{t-3}\cdot\beta^3 vt−3⋅β3,… 那么,当前的移动指数均值就是所有这些历史采样值作用的叠加:
A t = ( 1 − β ) v t + Σ 1 t v t − n ⋅ β n A_t=(1-\beta)v_t + \Sigma_1^t v_{t-n}\cdot \beta^n At=(1−β)vt+Σ1tvt−n⋅βn
这就是一个离散的卷积形式,关于移动指数平均的更多,参考 浅谈指数移动平均(ema)。
在空间域,和时间域类似,在图像处理中,往往用矩阵卷积运算 “用坐标 (u, v) 处周边坐标的特征影响坐标 (u, v) 的特征”,比如想要描边缘,g(x, y) 是一个 3 x 3 矩阵,为了加强像素差异,g(x, y) 矩阵可以写成下面这样:
[ − 1 − 1 − 1 − 1 9 − 1 − 1 − 1 − 1 ] \left[\begin{array}{c} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 9 & -1 \\ -1 & -1 &-1 \end{array}\right] −1−1−1−19−1−1−1−1
这个和 “当前信号状态是其周边状态的叠加” 以及 “当前移指平均是其周边采样值衰减的叠加” 异曲同工,只是时间的周边只有历史,未来尚未到来。
最后,为什么叫 “卷” 积?卷在哪里?
请看下图,一张纸两面,一面是 f(x),另一面是 g(x),要让 f(x) 的每一个值和 g(x) 的每一个值相乘,起码要让它们相遇,如何?只能把纸卷起来,f 和 g 才见面相乘:
浙江温州皮鞋湿,下雨进水不会胖。
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