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交换机需要多大 buffer
中心极限定理说的就是抽样越多钟形越高越细,抽样越多的意思就是 n 越大,随着 n 的增加,Σw 倾向于收敛到非常细高的区域,极端情况,n 无穷大,σS = 0,buffer 则不再需要,无穷条流的锯齿被平滑到 bdp 边缘,刚刚恰好填满 bdp。约 12 年前,我说过一句话,“经理能扣篮,但不经常,也不绝对”,这实在就是量子力学的哥本哈根解释的解释,说经理不能扣篮是不准确的,因为经理扣篮的概率虽小
有点违背直觉,但是真事儿,交换机过境的流越多,所需 buffer 越小,这是为什么?
范氏(范雅各布森,van jacobson)管道的 aimd 流建议 buffer_size 为 bdp,这很容易理解,因为 aimd 流最小 cwnd 为最大 cwnd 的 1/2,为保持管道持续满载,1/2 * cwnd 填满管道即可,即 1/2 * cwnd = bdp,因此 buffer_size = cwnd_max = 2 * bdp。
但这是单流的推导,多流共享 buffer 场景下是否适用还要继续推导。若 buffer 配置尾丢(tail drop),多流全局同步,范氏 style 推导依然适用,但若 buffer 配置为 red(random early detection) or codel,就要更复杂些,我先给出一个极端些的直感,再稍微详细分析随机异步流共享 buffer 场景。
所谓的极端即所有流 “均匀摊布” 在时间轴:
如上图两条流均匀摊布场景,两条流 cwnd 之和在其中一流 md 后即 t + 1 时刻获得,此时它们的 cwnd 之和为 Smin = 1 / 2w + (1 / 2 + (1 / 2) * (1 / 2))w,为保持管道满载,只需要让 Smin = bdp,而 buffer 的大小保持为 Smax - Smin 即可。
按此推广到 n 条流均匀摊布,可得:
S m i n = 1 2 w + ( 1 2 + 1 2 ⋅ 1 n ) w + ( 1 2 + 1 2 ⋅ 2 n ) w + . . . + ( 1 2 + 1 2 ⋅ n − 1 n ) w S_{min}=\dfrac{1}{2}w+(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{n})w+(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{n})w+...+(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{n})w Smin=21w+(21+21⋅n1)w+(21+21⋅n2)w+...+(21+21⋅nn−1)w
化简可得:
S m i n = n 2 ⋅ w = b d p , w = b d p ⋅ 2 n S_{min}= \dfrac{n}{2}\cdot w = bdp,w = bdp\cdot\dfrac{2}{n} Smin=2n⋅w=bdp,w=bdp⋅n2
而 Smax - Smin = (1 / 2)w,故 buffer_size = bdp / n。
这意味着 n 条流均匀摊布时,只需要保持 bdp / n 大小的 buffer 就能保持管道满载。
buffer 按流数量缩小难道这不会造成丢包加剧?持这种执念的人还是将 buffer 当带宽了,这是错误的。如果 n 条流共享带宽,目标是 n 条流均分带宽,不是分享 buffer,这意味着它们 md 后 cwnd 必降到 bdp 以下,保持管道满载意思是 cwnd 总和维持在 bdp 以上,一条流 cwnd 降到 bdp 以下,总有流填充它空出的部分。
好,现在开始步入正题。
实际的统计复用场景中,每条流独立,多条流不可能均匀摊布,其 cwnd 之和属正态分布。n 条流 cwnd 之和,每条流相当于从 (1 / 2)w 到 w 抽样 cwnd,cwnd 属均匀分布,根据中心极限定理,cwnd 的和属正态分布,设 cwnd 抽样标准差 σ c w n d \sigma_{cwnd} σcwnd ,cwnd 之和标准差为 σ S \sigma_{S} σS ,则 ,则 ,则 n ⋅ σ c w n d 2 = σ S 2 n\cdot\sigma_{cwnd}^2=\sigma_{S}^2 n⋅σcwnd2=σS2。
每条流的 cwnd 值属于从 (1 / 2)w 到 w 的均匀分布,其标准差为 σ c w n d = w 2 12 \sigma_{cwnd}=\dfrac{w}{2\sqrt{12}} σcwnd=212w,在 n 条流共存场景, w = Σ n w i n w=\dfrac{\Sigma^n w_i}{n} w=nΣnwi,因此 σ c w n d = w 2 12 = Σ n w i 2 12 n \sigma_{cwnd}=\dfrac{w}{2\sqrt{12}}=\dfrac{\Sigma^n w_i}{2\sqrt{12}n} σcwnd=212w=212nΣnwi,方差叠加可得:
σ S = n σ c w n d = Σ n w i 4 3 n = b d p + b u f f e r 4 3 n \sigma_S=\sqrt{n}\sigma_{cwnd}=\dfrac{\Sigma^nw_i}{4\sqrt{3}\sqrt{n}}=\dfrac{bdp+buffer}{4\sqrt{3}\sqrt{n}} σS=nσcwnd=43nΣnwi=43nbdp+buffer
而我们看上述表达式意味着什么:
给定一个 buffer,n 越大,覆盖 99% 可能性的有用 buffer 越少,buffer 随着 sqrt{n} 缩小, 整体上 buffer 被 n 往左边向 bdp 收缩。n 增大, σ \sigma σ 减小,要让 σ \sigma σ 减小,buffer 减小。
中心极限定理说的就是抽样越多钟形越高越细,抽样越多的意思就是 n 越大,随着 n 的增加,Σw 倾向于收敛到非常细高的区域,极端情况,n 无穷大,σS = 0,buffer 则不再需要,无穷条流的锯齿被平滑到 bdp 边缘,刚刚恰好填满 bdp。
依本文论点,aimd 锯齿仅在端可观测到,在交换机 buffer 的统计复用环境,多流行为效果恰就是中心极限定理 cwnd 采样求和的体现,依据的是另一种动力学。bbr 等 cc 分析应依据这种统计动力学而不是端侧的 aimd 动力学。
是故,足够大的 buffer 给了共存流量足够的腾挪折腾空间,其 buffer 挤占动力学有利于公平收敛,但也不绝对。buffer 过大,真带不来收益,带来时延而已,若不必吸收统计波动,仅固定数目 aimd 流共存,如上分析,实在无需大 buffer,流越多,buffer 用量越少即可保持管道满载。但现网部署的交换机配置稍微大的 buffer 实属吸收统计波动,比如 incast 或特殊事件(比如直播在特定时间开始后的短突发),但即便是研发经理,恐怕也还是觉得任何场景下 buffer 越大越好吧。
约 12 年前,我说过一句话,“经理能扣篮,但不经常,也不绝对”,这实在就是量子力学的哥本哈根解释的解释,说经理不能扣篮是不准确的,因为经理扣篮的概率虽小,但不为 0。
浙江温州皮鞋湿,下雨进水不会胖。
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