C 题 农作物的种植策略

问题 1 ：2024-2030 年农作物的最优种植方案

1.1 问题 1 的第一小问详细

该问题要求在假设未来农作物的预期销售量、种植成本、亩产量和销售价 格稳定的情况下，为乡村制定从 2024 年到 2030 年的农作物最优种植方案。特 别是要考虑当某种作物每季的总产量超过相应的预期销售量时，超过部分不能 正常销售，造成浪费。

目标：

通过合理分配地块和大棚的种植作物，使得乡村在 2024 年至 2030 年期间

的总收益最大化，同时满足以下约束条件：

•       各类作物不能在同一地块连续重茬种植，防止减产。

•       每三年内，必须在每块地种植一次豆类作物。

•       优化方案还需考虑田间管理的便利性，避免种植区域过于分散。

模型构建思路：

该问题可以通过线性规划或整数规划模型来进行求解，具体步骤如下：

1.1. 数据处理与结果分析

•       数据预处理：使用 2023 年的种植和销售数据（见附件 2）作为

模型的基础输入数据，预处理不同作物的亩产量、种植成本、预期销售 量和价格等。

•       模型验证：在 2024 年到 2030 年的不同年份运行模型，比较不 同年份的种植策略，并分析收益和种植面积的变化趋势。

1.2 决策变量的设定

•       设xij(t)为变量，表示在第 t 年，地块 i 上种植作物 j  的面积（亩）。

•       i代表不同的地块编号，j 代表不同的作物，t代表年份。

1.3 目标函数

目标是最大化农作物的总收益。对于每个作物 j  在第 t  年的收益可以表 示为：

收益

 = min (产

销售量jt) × 销售量j

如果产量超过了预期销售量，超出的部分无法销售，导致浪费。 总收益的目标函数可以表示为：

max   

  

(min (xij(t) × 亩产量j  , 预期销售量j ) × 销售价格j

t =2024 i = 1 j = 1

− xij(t) × 种植成本j )

其中：

xij(t)：表示地块 i 在第 t 年种植作物 j 的面积 亩产量j ：为作物 j 每亩的产量

预期销售量j ：为作物 j 在第 t 年的最大销售量 销售价格j ：为作物 j 的单价

种植成本j ：为作物 j每亩的种植成本

1.4 约束条件

耕地面积限制： 每块地的总种植面积不能超过其实际面积，即：

M

 地块面积i,   ∀t, ∀i

j = 1

作物种植条件： 平旱地、梯田和山坡地只能种植粮食作物，水浇地可 以种水稻或两季蔬菜，大棚可以种蔬菜和食用菌。

 若地块类型不适合种植作物 j

不重茬约束： 同一地块不能在连续两年种植相同的作物，否则会减产：

xij(t) × xij(t)−1  = 0,         ∀i,j, t

豆类作物三年内种植一次的约束： 每三年内，每块地至少要种植一次

豆类作物：

T+2

t =T j∈豆类作物

其中，e 为一个正数，确保豆类作物在三年内至少有一定的种植面积。

种植区域不分散的约束： 需要避免每种作物的种植区域过于分散，可 以添加约束来限制同一种作物的种植面积在相邻的地块上：

′ j | ≤ δ,         ∀i, i ′ 为相邻地块

其中，δ 为允许的种植面积差异。

1.5 模型求解方法

•       线性规划（Linear  Programming, LP）：若作物的种植面积是连 续变量，可以使用线性规划求解。

•       整数规划（Integer  Programming,  IP）：若种植面积需要离散 化（例如，精确到整数亩），可以使用整数规划求解。

可以通过求解器如 Gurobi、CPLEX 或开源的求解器如 GLPK 来进行模型的 数值求解。

2 问题 1 的第二小问

该问题与第一小问类似，但不同之处在于：如果某种作物的总产量超过了 相应的预期销售量，超过部分不再浪费，而是以 2023 年销售价格的 50%降价出 售。因此，本小问的目标是制定 2024-2030 年的最优种植方案，在该销售规则 下，最大化农作物种植的总收益。

目标：

通过合理分配地块和大棚的种植作物，使乡村在 2024-2030 年期间的总收 益最大化，同时满足种植作物的限制和其他约束条件。

模型构建思路：

与第一小问的基本框架类似，只是目标函数中的超额部分收益的计算方式 不同。因此，关键的区别在于目标函数的构建。

2.1 决策变量的设定

与第一小问相同，定义如下的决策变量：

•       设xij(t)为变量，表示在第 t 年，地块 i 上种植作物 j  的面积（亩）。

•       i代表不同的地块编号，j 代表不同的作物，t代表年份。

2.2 目标函数

目标是最大化农作物的总收益。与第一小问不同，超过预期销售量的部分 作物将以半价出售。因此，目标函数需要对超出部分的收益进行区分和处理。 对于某种作物 j 的收益，可以分为两部分：

当产量pjt  = xij(t) × 亩产量j   小于或等于预期销售量sjt 时，收益为：

收益

销售价格j

当产量pjt 超过预期销售量sjt 时，超出部分以半价出售，收益为：

收益j(t) = sjt  × 销售价格j  + (pjt  − sjt ) × 销售价格j   × 0.5

结合以上两种情况，农作物的收益可以统一表示为：

收益jt  = min(pjt, sjt ) × 销售价格j  + max (0, pjt  − sjt ) × 0.5 × 销售价格j 然后，结合种植成本，目标函数可以表示为：

max   

  

min (xij(t) × 亩产量j  , 预期销售量j ) × 销售价格j

t =2024 i = 1 j = 1

+ max (0, xij(t) × 亩产量j  − 预期销售量j ) × 0.5 × 销售价格j − xij(t) × 种植成本j

其中：

xij(t)表示地块 i 在第 t 年种植作物 j 的面积。 亩产量j 为作物 j 每亩的产量。

预期销售量j 为作物 j 在第 t 年的最大销售量。

销售价格j  为作物 j 的销售单价。

种植成本j 为作物 j 每亩的种植成本。

3.3. 约束条件

与第一小问相同

3.4 数据处理与结果分析

与第一小问类似，需要根据 2023 年的数据（见附件 2）来预处理每种农作 物的亩产量、种植成本、预期销售量和价格等数据，并将其作为模型输入。

•       数据预处理：计算各作物的亩产量、种植成本、预期销售量和 价格等信息，作为输入参数。

•       结果分析：运行模型，生成 2024 年至 2030 年的最优种植方案， 分析不同年份的收益和种植面积分配情况，并与第一小问的结果进行对  比。

问题 2：考虑不确定性的最优种植方案

问题 2  要求我们在考虑农作物预期销售量、亩产量、种植成本和销售价格 的不确定性，以及潜在的种植风险的情况下，制定 2024-2030 年的最优种植方 案。这与问题 1 相比，增加了对不确定性和风险的考虑。

题目提供了一些不确定性的具体信息：

1.    小麦和玉米的预期销售量有 5%-10%的年增长率。

2.    其他作物的预期销售量每年相对于 2023 年大约有±5%的波动。

3.    农作物的亩产量受气候等因素影响，每年有±10%的变化。

4.    种植成本每年平均增长 5%左右。

5.    粮食类作物的销售价格基本稳定，蔬菜类作物的销售价格年均 增长 5%左右。

6.    食用菌的销售价格每年下降 1%-5%，特别是羊肚菌的价格每年 下降 5%。

目标：

通过合理分配不同作物在不同地块的种植面积，制定 2024-2030 年间的种 植方案，使收益最大化，同时考虑不确定性和风险。

模型构建思路：

在此问题中，除了要解决与问题 1  相似的种植面积分配问题外，还要对不 确定性进行建模，并通过优化方法最大化在不确定条件下的预期收益。

1.1 决策变量的设定

依然定义：

•       xij(t)：表示在第 t 年，地块 i 上种植作物 j 的面积（亩）。

1.2 不确定性建模

不确定性和风险可以通过两种方式处理：蒙特卡洛模拟和鲁棒优化。

（1）蒙特卡洛模拟：

蒙特卡洛模拟通过重复随机抽样来模拟农作物预期销售量、亩产量、种植 成本和销售价格的不确定性。这种方法假设每个变量的波动符合某种概率分布 （例如，正态分布或均匀分布），通过随机生成不同的情景来分析决策的表现。

不确定性因素：

•       预期销售量：假设小麦和玉米的年增长率为 5%-10%，其他作物 每年波动±5%。

•       亩产量：每年有±10%的波动。

•       种植成本：每年平均增长 5%。

•       销售价格：不同作物价格有不同的变化趋势（例如，蔬菜类增 长 5%，食用菌下降 1%-5%）。

每个变量都可以用随机变量来表示：

销售量j(t) = 销售量

023  × 

 亩产量

 = 亩产量

023  × 

种植成本j(t) = 种植成本j(2023) × (1 + r种(t)植成本,j )

销售价格j(t) = 销售价格

023  × (1 + r

售价格,j )

其中，r销(t)售量,j 、r亩(t)产量,j 、r种(t)植成本,j 、r销(t)售价格,j 分别为每个变量的增长率或波

动率，服从相应的分布（例如，正态分布或均匀分布）。

（2）鲁棒优化：

鲁棒优化是处理不确定性的一种保守方法。它假设最坏情况下的波动，并 保证在最坏情况下仍然能实现优化目标。对于每个不确定的参数，如销售量、 产量、成本和价格，可以引入一个波动区间，确保模型在这些参数处于极端值 时仍然有可接受的结果。

1.3 目标函数

目标是最大化 2024-2030 年期间在不确定条件下的预期收益。与问题 1 类 似，不同点在于收益函数的参数（销售量、亩产量、成本、价格）现在是随机 变量或不确定区间。

使用蒙特卡洛模拟时，可以将目标函数表示为多个情景下的平均收益：

max E[  

  

(min ( xij(t)  × 亩产量j(t) , 预期销售量j(t)) × 销售价格j(t)

t =2024 i = 1 j = 1

− xij(t)  × 种植成本j(t)]

其中：

•       E[⋅] 表示对所有随机情景的期望值。

•       其他变量和问题 1 中类似。

使用鲁棒优化时，目标函数可以表示为在最坏情况下的收益：

max min [t 

4

min (xij(t) × 亩产量j(t) , 预期销售量j(t)) × 销售价格j(t)

− xij(t)  × 种植成本j(t)))]

1.4 约束条件

约束条件与问题 1 中的类似，包括：

耕地面积限制：每块地的种植面积不能超过其实际面积。

作物种植条件：不同地块适合种植不同类型的作物。

不重茬约束：同一地块不能连续种植相同作物。

豆类作物三年内种植一次的约束：每三年内每块地必须种植一次豆 类作物。

1.5 模型求解方法

可以使用以下方法求解：

•       蒙特卡洛模拟：对于每个情景， 使用线性规划或整数规划方法 进行求解，并计算所有情景下的平均收益。

•       鲁棒优化：引入不确定参数的区间，通过鲁棒线性规划方法进 行求解，确保最坏情况下的收益仍然最大化。

1.6 数据处理与结果分析

•       数据预处理：根据 2023  年的数据（见附件 2），计算每种作物 的亩产量、种植成本、预期销售量和价格等信息，并模拟未来 7  年间的 波动情况。

•       情景生成：使用蒙特卡洛模拟或设定不确定区间生成多种情景， 计算在不同情景下的收益。

•       结果分析：通过对多种情景下的结果进行分析，评估最优种植 方案在不同波动条件下的表现，确保方案具有较强的鲁棒性。

# 添加存在性检查，避免访问不存在的变量

model += lpSum([plant_area[(year, plot, crop)] for year in range (t, t + 3) for crop in bean_crops if

crop in crops]) >= 1

# 4. 实际销售量应该等于产量和预期销售量的最小值 for year in range (2024, 2031):

for plot in plots:

for crop in crops:

# 实际销售量不能超过产量

model += sales_amount[(year, plot, crop)] <= plant_area[(year, plot, crop)] * simulate_uncertainty(

yield_per_mu.get(crop, 0), 0.1) # 实际销售量不能超过预期销售量

model += sales_amount[(year, plot, crop)] <= expected_sales.get(crop, 0)

# 求解模型

model.solve()

# 检查求解状态， 确保模型成功求解

if LpStatus[model.status] != 'Optimal' :

print (f'Error: Model did not find an optimal solution. Status: {LpStatus[model.status]} ')

return None

# 输出结果

for v in model.variables():

if v.varValue is not None and v.varValue > 0:  # 确保

varValue 不为 None

print (f'{v.name} = {v.varValue} ')

# 返回总收益

return value(model.objective)

# 7. 运行模拟

results = []

for simulation in range (100):  # 运行 100 次模拟

print (f'Running simulation {simulation + 1} ')

total_profit = optimize_planting(yield_per_mu, planting_cost, expected_sales, price_per_unit)

if total_profit is not None:

results.append(total_profit)

问题 3：考虑替代性和互补性的最优种植策略

问题 3 要求我们在问题 2 的基础上，进一步考虑以下因素：

1.    作物之间的替代性与互补性：作物之间可能存在一定的替代性 （即一种作物可以部分替代另一种作物）和互补性（即种植某种作物能 够促进其他作物的生长或收益）。

2.    销售量与价格、成本的相关性：农作物的预期销售量与销售价 格、种植成本之间可能存在相关性。

要求给出考虑这些因素后的 2024-2030 年的最优种植策略，并通过模拟数 据进行求解，最后与问题 2 的结果进行比较分析。

目标：

通过合理的作物种植策略，优化考虑作物之间的替代性、互补性，以及销 售量、价格、成本之间的相关性，在 2024-2030 年期间最大化收益。

模型构建思路：

本题的关键是在问题 2  的基础上，进一步引入作物之间的替代性与互补性 以及销售量、价格、成本的相关性，并通过适当的数学模型捕捉这些因素的影 响。

1.1 作物之间的替代性与互补性

替代性：某些作物可以互相替代，即如果某作物 A  的市场价格下跌或成本上 升，我们可以种植更多的作物 B  来弥补收益损失。这种关系可以用交叉弹性来 建模。交叉弹性是指一种作物的价格变化对另一种作物销售量的影响：

交叉弹性AB  = %(%Δ)Δ价格B(需求量)A

如果交叉弹性为正，表示作物 A 和作物 B 是替代品；如果为负，则表示它

们是互补品。

互补性：有些作物之间具有互补性，即种植某种作物有助于其他作物的生  长或提高其收益。例如，种植豆类作物可能会改良土壤，促进其他作物的生长。 可以通过引入一个互补性系数来表示这种关系：

互补性系数AB      (0 ≤ aAB  ≤ 1)

如果作物 A 和 B 互补，则当在同一地块种植时，作物 B 的产量或销售量会 相应增加。

1.2 销售量与价格、成本的相关性

农作物的预期销售量与销售价格、种植成本之间存在一定的相关性：

销售量与销售价格的负相关性：根据经济学原理，通常销售量和销售价格 之间存在负相关关系，即价格上升会导致需求下降，反之亦然。我们可以通过 需求价格弹性来描述这种关系：

价格弹性 =                      

%∆价格

负的价格弹性意味着价格上升会导致销售量减少，反之亦然。

销售量与种植成本的相关性：市场条件可能导致某些作物的种植成本和销 售量具有相关性。例如，成本增加可能导致销售量下降，反之成本下降可能促 进销售量增加。这种相关性可以通过相关系数来建模：

相关系数成本−销售量  (−1 ≤ pcs ≤ 1)

正的相关系数意味着种植成本上升时，销售量也会上升；负相关则表示成 本上升时销售量下降。

1.3 目标函数的改进

目标依然是最大化 2024-2030 年的总收益，但现在需要考虑作物替代性、 互补性以及销售量、价格和成本的相关性。

max  

  

min (xij(t)  × 亩产量j(t) , 预期销售量j(t)) × 销售价格j(t)

− xij(t)  × 种植成本j(t)))

这个目标函数与问题 2  中的形式相同，但我们将通过以下两种方式调整它 以考虑作物替代性、互补性以及相关性。

（2）考虑作物之间的替代性：

作物 A 和作物 B 之间的替代性可以通过引入交叉弹性来调整种植面积。假

设作物 A 和 B 是替代品，则如果作物 B 的价格上升，我们可以减少种植作物 A 并增加作物 B 的种植面积。目标函数中，可以引入一个调整系数：

xij(t) = xij(t) + βAB  × ∆价格B(t)

其中，βAB  是一个基于交叉弹性的系数，表示作物 B  的价格变化对作物 A 的种植决策的影响。

（3）考虑作物之间的互补性：

互补性可以通过提高种植在相邻地块或同一地块上作物的产量来表示。如 果作物 A 和 B 是互补的，则当它们同时种植时，作物 A 或 B 的产量将增加。我 们可以在产量公式中增加一个互补性系数：

亩产量j  = 亩产量j          × (1 + aAB ) 其中，aAB  表示作物 A 和作物 B 之间的互补性。

（4）销售量、价格与成本的相关性：

为了考虑销售量、价格和成本之间的相关性，可以引入一个相关性矩阵， 用于调整这些变量之间的相互影响。具体而言，当销售量、价格或成本发生变 化时，可以通过相关性矩阵调整模型中的预期销售量或成本。例如：

预期销售量j  = 预期销售量j          × (1 + pPS × ∆销售价格j 其中，pPS 是销售量和价格之间的相关性系数。

1.4 约束条件

约束条件与问题 2  中的相同，包括耕地面积限制、作物种植条件、不重茬 约束和豆类作物三年内种植一次的要求。

1.5 模型求解方法

与问题 2  类似，仍然可以采用线性规划或整数规划的优化求解方法。考虑 到作物之间的替代性、互补性以及相关性，模型可能会更加复杂。

此外，由于引入了不确定性因素，可以使用蒙特卡洛模拟来评估不同方案 在各种情景下的表现，进一步验证方案的鲁棒性。

1.6 数据处理与结果分析

数据预处理：根据 2023  年的数据（见附件 2），计算各类作物的亩产量、

种植成本、销售量和价格等信息。通过历史数据分析，估计作物之间的替代性、 互补性以及销售量与价格、成本的相关性。

情景分析： 通过引入作物替代性、互补性以及相关性， 对不同方案在 2024-2030 年间的表现进行模拟分析。

结果比较：将问题 3 的最优方案与问题 2 的结果进行对比，分析引入替代 性、互补性和相关性后，种植策略的变化及其对总收益的影响。