2025 MCM Problem C：奥运会奖牌榜的模型

以下内容分为三个主要部分：

第一部分为赛题的中文翻译、

第二部分为整体赛题分析，

第三部分为逐个问题的分析与求解思路。

我们力求兼顾完整度与可读性，并在不脱离题意的前提下，给出较为深入的模型思路和框架示例。

由于赛程时间紧急，后续详细完整内容可能在此无法及时同步更新，欢迎从文末小卡片进一步自行获取最新资源~

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第一部分：赛题中文翻译（含表格排版）

题目：2025 MCM Problem C：奥运会奖牌榜的模型

奥运奖牌

在2024年巴黎夏季奥运会的最新比赛中，除了观看各个单项比赛，观众也关注各个国家的总体“奖牌榜”。最终结果（见下表 Table 1）显示，美国获得了最多的奖牌总数（126枚），而在金牌数量上，中国和美国并列榜首（40枚）。东道主法国在金牌榜上排名第5（16枚），但就奖牌总数而言排名第4；而英国在金牌数上排名第7（14枚），但总奖牌数却排在第3。

表1：2024年巴黎奥运会金牌数排名前7国家的最终奖牌榜[1]

国家	金牌 Gold	银牌 Silver	铜牌 Bronze	总数 Total
United States	40	44	42	126
China	40	27	24	91
Japan	20	12	13	45
Australia	18	19	16	53
France	16	26	22	64
Netherlands	15	7	12	34
Great Britain	14	22	29	65

金牌榜前列的国家备受关注，但其他国家的奖牌数量同样重要。例如，阿尔巴尼亚（2枚奖牌）、佛得角、多米尼加以及圣卢西亚（2枚奖牌）在巴黎奥运会上赢得了它们国家历史上的首枚奥运奖牌。其中多米尼加和圣卢西亚还都各自获得了一枚金牌。截至目前，仍有超过60个国家尚未获得任何奥运会奖牌。

虽然对最终奖牌数的预测十分常见，但往往并不基于历史奖牌数据，而是更接近即将到来的奥运会开赛时，根据当届实际参赛运动员来进行（例如：Nielsen关于2024年预测）。

本次赛题提供了所有夏季奥运会的奖牌表、主办国家信息，以及每届奥运会按运动项目（sport/discipline/event）拆分的奥运会项目数量数据。此外，还提供了所有夏季奥运会参赛选手数据，包括运动项目及其最终成绩（奖牌类型或未获奖牌）。
你（参赛团队）的模型和数据分析只能使用赛题给定的数据集。 你可以使用额外资源来提供背景与上下文，或帮助解释结果（需要在论文中标注参考来源）。
具体而言，使用给定数据来完成如下任务：

1. 建立各个国家的奖牌数量模型（至少包括金牌与总奖牌数）。
2. 包括预测不确定性/精度以及模型对历史数据的拟合优度评价指标。
3. 基于你的模型，预测2028年在美国洛杉矶举行的夏季奥运会奖牌榜，并给出所有结果的预测区间。

• 哪些国家更可能进步？哪些国家相比2024会退步？

1. 模型还应包括尚未获得过奖牌的国家；估计在下届奥运会中会有多少国家获得首枚奖牌？给出这一估计发生的概率（或置信区间/赔率）。
2. 模型还需考虑到某届奥运会的项目（数量和类型）。探究不同项目与各国所获奖牌数量之间的关系：哪些运动项目对各国最重要？为什么？主办国的项目选择如何影响最终结果？
3. 关于“名帅效应”（great coach effect）
4. 运动员可以为不同国家效力，但更换国籍并不简单；然而教练可以轻易更换国家，不需要该国国籍。于是存在所谓的“名帅效应”。例如郎平[2]分别带领美国、中国的排球队获得冠军；另如颇具争议的体操教练Béla Károlyi[3]带领罗马尼亚和美国女队取得过巨大成功。
5. 分析所给数据，寻找是否存在可能由“名帅效应”导致的变化证据。你认为这一效应对奖牌数的贡献有多大？
6. 任选三个国家，指出它们在哪些运动项目上应考虑投入“名帅”资源，并估计其潜在影响。
7. 你的模型揭示了关于奥运会奖牌总数的哪些其他创新见解？
8. 这些见解对各国奥委会有什么启示作用？

提交格式与要求
- 提交PDF文件，正文不超过25页，需包含：

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• 参考文献列表
• AI使用报告（若使用，不计入25页限制）
• 允许谨慎使用AI（如ChatGPT），但必须遵从COMAP AI使用政策，并在文末单独提交AI使用报告。

注意：不会因篇幅不足而不收录，25页是最大限制。允许提交部分解答。若使用生成式AI，需按照COMAP的AI使用政策额外提交一份AI使用报告。

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新的MCM/ICM在线提交流程

COMAP提供了新的在线提交页面（https://forms.comap.org/241335097294056）。需要在提交时提供队伍的控制编号、指导教师编号以及所选赛题编号等信息。

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数据文件

2025_Problem_C_Data.zip 包含以下5个数据文件：

1. data_dictionary.csv —— 数据库描述及示例
2. summerOly_athletes.csv —— 所有参赛选手数据，包含项目、年份和结果（奖牌类型或无奖牌）
3. summerOly_medal_counts.csv —— 1896至2024年所有夏季奥运会的国家奖牌总表
4. summerOly_hosts.csv —— 1896至2032年所有夏季奥运会主办国
5. summerOly_programs.csv —— 1896至2032年所有夏季奥运会各项目/小项的数量统计，以及总项目数

数据中各国名称遵循当届奥运会时IOC（国际奥委会）对国家/地区的认定，因此可能出现历史变更（例如更名、分裂等）。数据中可能存在记录异常。需要说明的是，在运动员数据文件中，某些项目（如网球、乒乓球、沙滩排球），会出现如“Germany-1”这样的队伍标识，代表“德国一队”，这些属于实际比赛分队信息。如何处理这些数据细节是建模过程中的重要部分。

术语表
国际奥委会(IOC)：国际性的非政府体育组织，是奥运会及奥林匹克运动的管理机构。
奥运会项目(Programme)：IOC为每届奥运会确定的所有竞赛项目总和。
SDE（Sport, Discipline, or Event）：体育运动大项、分项或具体小项。
Sport（运动大项）：IOC定义的奥运会运动，是由单一国际体育联合会管理的；一个大项可以包含一个或多个分项，每个分项又包含一个或多个具体竞赛小项(event)。

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第二部分：整体赛题分析

本题聚焦于奥运会金牌及奖牌总数的多维度预测与分析，核心要点包括：

1. 建立预测模型
2. 既要预测金牌数，也要预测奖牌总数，至少要给出不确定性范围（如预测区间或置信区间）。
3. 涉及历史奥运数据、赛事项目变化、主办国优势等因素；此外，还要考虑尚未获得奖牌的国家如何在未来可能获得首枚奖牌。
4. 需综合运用历史数据、机遇分配、项目分布以及国家实力等多重因素。
5. 影响因素多样且复杂
6. 国家人口、经济水平、体育政策投入、地缘政治、东道主效应、项目设置变化、教练或运动员跨国流动等。
7. 题目提供了相对详尽的数据集，但实际中这些影响因素更为广泛。考题要求我们在仅使用赛题给定数据的前提下做出合理的分析。
8. “名帅效应”
9. 需要从数据中挖掘教练执教流动对特定项目、特定国家奖牌数量的潜在影响。
10. 由于并无显式的“教练-国家”对应信息，需要由运动员成绩或国家成绩在某些关键节点前后是否产生异常增幅等方式进行间接评估。
11. 对各国奥委会的启示
12. 不同国家在不同项目上的优势与不足；
13. 东道主如何借助项目设置、教练资源分配等来最大化奖牌收获；
14. 缺乏奖牌历史的国家如何突破零的瓶颈。
15. 数据处理与模型设计
16. 可从传统的时间序列分析、回归分析、聚类分析到更复杂的机器学习、深度学习方法。
17. 对于“名帅效应”，可通过差分模型、事件分析（如教练更换的关键节点）进行定量或定性分析。
18. 对新增加的项目与分项数量要加以考虑，不能简单按照往届奖牌分布线性外推。
19. 预测与区间估计
20. 在预测2028年奥运会奖牌榜时，应当给出区间或不确定性度量；
21. 需尽量解释预测背后的假设、参数与误差来源。

综上，题目需要参赛队通过多学科交叉视角，建立较全面的多维模型并进行预测与分析，兼顾解释性与可操作性，最终提出对各国有启示意义的结论与建议。

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第三部分：逐问题分析与求解思路

下面根据题目列出的每个任务，依次给出分析框架与可采用的建模思路。在建模竞赛中，详细的技术实现往往需要结合团队的擅长与时间安排，本解答力求给出可能的多样化模型路径，供读者参考与选用。

问题1：奖牌数量模型的建立与预测

1.1 模型目标与主要输出

• 预测各国在未来一届（2028年洛杉矶奥运会）至少的金牌数与总奖牌数。
• 给出结果的区间估计（如置信区间或预测区间）。
• 模型包含尚无奖牌国家：预测其可能首夺奖牌的概率（或预测区间）。

1.2 模型影响因素与可用数据

1. 历史奖牌数据（summerOly_medal_counts.csv）：可用于回归或时间序列分析。
2. 主办国信息（summerOly_hosts.csv）：结合“东道主效应”做修正；东道主往往在金牌数和奖牌总数上有优势提升。
3. 赛事项目数量及分布（summerOly_programs.csv）：不同项目对于不同国家的重要性差异。
4. 运动员参赛信息（summerOly_athletes.csv）：可以统计某国在某项目上的长期或近几年夺牌数及其趋势。

1.3 可能的建模思路

回归类模型

• 多元线性回归/广义线性回归：自变量可包括上一届或多届奖牌数据、东道主虚拟变量（Host=1,非Host=0），以及可选经济指标（如果允许外部公开数据，但本题不鼓励过多外部数据）。
• 面板数据回归或分层回归：各国为截面，历届为时间序列。
• Poisson回归或Negative Binomial回归：奖牌作为“计数型”输出，可能使用泊松分布或负二项分布建模。
• 时间序列预测
• ARIMA/ARIMAX：对单个国家的历史奖牌进行时间序列分析，并以项目数或东道主效应作为外生变量。
• 对于未曾获奖牌的国家，用状态转移或马尔可夫链结合机遇因子推断“突破零的概率”。

机器学习/深度学习

• 基于历史特征（如往届成绩、所擅长项目数量、选手参赛规模），训练随机森林、XGBoost、神经网络等模型。
• 需注意因样本量较小（真正带标签的奥运会届数并不多），模型可能过拟合。

贝叶斯分层模型

• 将国家视为一层，年份视为另一层，共享先验分布，可以对未获奖牌国家进行信息借用（借鉴相似国家的分布情况）。
• 可给出自然的置信区间（后验分布）。

1.4 不确定性/精度估计

• 区间估计：可通过统计置信区间或贝叶斯后验区间。
• 模型评估：MAE/MSE/RMSE，或对于计数型可用对数似然、Deviance等，评价模型在历史数据上的拟合情况。
• 预测区间：根据建模方法选取合适的区间估计，如bootstrap或贝叶斯抽样。

1.5 预测结果与解读

• 哪些国家可能会进步/退步？
• 根据时间序列斜率、模型系数或特征重要性，可判断趋势。
• 分析2024到2028变化显著的国家，并给出原因（东道主优势、项目设置、新兴强国等）。
• 首次夺牌国家的预测
• 对所有尚未夺牌国家，模型可给出“是否夺牌”的概率；再统计期望个数或给出概率分布。
• 如果使用泊松建模，可得到λ值，再根据奖牌的期望值λ>0便有一定概率。
• 给出预测范围（如1~5个国家），并评估其置信度。

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问题2：“名帅效应”对奖牌数的影响

2.1 概念与数据局限

• 题中并未直接提供“教练国籍或流动”数据，需要从国家奖牌趋势或特定项目成绩走势中做推断。
• “名帅效应”可能体现为：当某项目在某届前后突然出现异常增幅或下滑，且资料（新闻、附加背景）显示教练更换或流动。

2.2 定量/定性评估思路

突变检测

对某国在某项目的夺牌数，按历届时间序列进行分析。当出现突然上升（或下降）时，判断是否与教练更换等因素吻合。

可借鉴干预分析(Intervention Analysis)或Causal Impact分析方法。

对比分析

比较同一教练执教前后，不同国家在同一项目上的成绩变化。

虽无法明确数据支持，但可以对例如“郎平执教美国女排”与“郎平执教中国女排”期间，美国/中国在女排项目的奖牌变化做简单统计。

回归/加性模型

在某国某项目的奖牌或金牌趋势回归中，加入“是否有名帅”作为虚拟变量，观察该变量系数对奖牌的影响。

2.3 三个国家及其潜在投资方向

• 在实操中：
• 先筛选出在某项目上具备一定潜力但尚未充分发挥的国家；
• 考察该项目是否受到教练因素影响突出；
• 综合评估可提高的奖牌数增量。
• 举例：
• 比如假设“意大利”在击剑项目上传统较强，如果出现一位享誉全球的击剑总教练能够流动，其执教国家有望在击剑项目上显著提升；
• 或者“日本”在柔道上的传统优势是否有名帅输出；
• “美国”在田径、游泳、体操上是否对他国输出教练造成他们成绩的提高等。

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问题3：模型的其他创新见解及对各国的建议

此部分往往着重于挖掘数据中隐藏的规律或提供更全面的策略建议，例如：

东道主对项目设置的影响

主办国可能通过与国际奥委会协商，增加本国优势项目，或减少某些弱项，以利于自身提高奖牌数。

从数据来看，某些新增项目在主办国举办那一届往往具备主场优势更明显。

优势项目聚焦 vs. 全面发展

部分中小国家或新兴体育强国，有时集中力量在少数重点项目（举重、跆拳道等）中爆发；

大国（美国、中国、俄罗斯等）在传统大项（田径、游泳、体操）上优势长期存在，但也可能受赛制调整、新项目等影响。

选材体系或青训体系

若从数据可观察出某国年轻选手在近几届表现出色，则说明青训体系成功，后劲充足。

给予奥委会启示：加大青训投入、引进国外教练、完善国内联赛体系等，都是潜在策略。

地域与文化因素

某些项目在特定地理文化环境中更容易出人才，如冬季项目与气候、海洋国家与水上项目等——虽然本题为夏季奥运会，但也有类似道理（海岛国家或热带国家在水上项目/沙滩排球等，具备一定天然优势/文化偏好）。

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参考模型与技术框架示例

下面给出一个综合性较强的示例，以供思考和扩展：

数据预处理

1. 处理国家名称不一致、项目分类问题；
2. 对于每届奥运会，每个国家在各个大项/分项上夺牌数进行整合；
3. 对每个国家构造：上一届金牌数上一届总奖牌数主办国新增项目数xi={上一届金牌数,上一届总奖牌数,主办国Dummy,新增项目数,…}
4. 输出：本届金牌数 和本届奖牌总数ygold和本届奖牌总数ytotal 。

分层回归/时间序列(ARIMAX)建模

1. 对金牌数和总奖牌数分别做建模；
2. 其中时间序列的外生变量包含“主办国dummy”、“每届新增项目dummy”等。
3. 也可将分项奖牌数累加后做建模，或者在细粒度上对特定大项做分项建模，再汇总。

对尚未获得奖牌的国家的处理

1. 若采Poisson或负二项分布方式，可以从过去的稀疏数据（0或极少）中估计参数；
2. 也可将“国家规模”（如参赛选手数、参赛大项数）作为权重或影响因子；
3. 通过蒙特卡罗模拟得到其有无获得首枚奖牌的概率。

对“名帅效应”的近似量化

1. 可能在某些项目上设置一个“名帅Dummy”，结合公开资料或假设；
2. 或者对时间序列结果出现的“突变点”进行定性说明，给出大概贡献率估计。

模型检验与预测输出

1. 对1984~2024历届样本做交叉验证；
2. 在2024年作为已知基准基础上，对2028年输出一个区间预测。
3. 对各国的金牌数和奖牌数排序，并给出未来可能出现大的正向变化或负向变化的国家。

对奥委会的建议与启示

1. 根据建模结果示例：如果在某项上投入名帅资源，可以提高奖牌数1~2枚；
2. 如果举办国（此处2028年美国）可以选择新增或保留哪些项目，对整体榜单格局可能产生怎样的影响。

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结语

本题旨在让参赛者综合运用数据分析、统计建模、运筹优化、机器学习等多种方法，来对奥运会奖牌榜进行预测并挖掘背后的影响因素。
建模关键在于如何处理稀疏数据（尤其是小国/新国家的奖牌数据）以及如何量化多重复杂影响，如项目增减、主场效应、名帅效应等。
创新性体现在对数据深层挖掘以及对模型结果的解释应用。
实用价值在于给各国奥委会提供可行的决策依据，如重点培养哪些项目、是否引进外教、如何利用主办优势等。

希望以上翻译与解析能够帮助读者更加清晰地理解并应对本题，为数学建模竞赛提供思路和参考。祝各位在比赛中取得优异成绩！由于赛程时间紧急，后续详细完整内容可能在此无法及时同步更新，欢迎从文末小卡片进一步自行获取最新资源~