贝叶斯理论

基础概念

• 贝叶斯公式（Bayes’ Theorem）的本质是利用 已有信息更新对事件概率的认知，它提供了一种在 已知条件下推断未知事件 的数学工具。其核心思想是 从结果推原因，即根据观察到的证据，反向推测某个假设的可能性。

  1. 贝叶斯公式的数学表达
  $$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$
  其中：

  • $P(A\mid B)$：在已知 B 发生的情况下，事件 A 发生的概率（后验概率）。

  • $P(B\mid A)$ ：在 A 发生的情况下，事件 B 发生的概率（似然）。

  • $P(A)$：事件 A 发生的 先验概率，即在没有额外信息时我们对 A 发生的初始判断。

  • $P(B)$ ：事件 B 发生的概率，称为全概率，可通过全概率公式计算：

    $P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid \neg A)P(\neg A)$

    这里$ \neg A$ 代表 $A$ 未发生。

  2. 贝叶斯公式的本质理解

  贝叶斯公式的本质可以从几个角度理解：

  (1) 先验概率 + 证据更新 = 后验概率

  • 先验概率$P(A)$：这是我们在没有观察到任何证据之前对事件 A 发生的主观信念或统计估计。
  • 似然$P(B\mid A)$：在 A 发生的情况下，我们观察到 B 的可能性。
  • 后验概率 $P(A\mid B)$：当我们观察到 B 之后，我们对 A 发生的信念如何调整。

  贝叶斯定理的作用就是利用证据 更新 先验概率，使其更符合现实。

  (2) 反向推断：从结果推原因

  • 经典概率通常是 从原因推结果（已知 A，计算 B 的概率）。
  • 贝叶斯公式是 从结果推原因（已知 B，推测 A发生的可能性）。

  (3) 贝叶斯思想 vs. 频率派思想

  • 频率派（Frequentist）：认为概率是 长期频率，如抛硬币大量实验后的统计结果。
  • 贝叶斯派（Bayesian）：认为概率是 对未知世界的不确定性度量，可以根据新信息不断调整。

贝叶斯分类器（Bayesian Classifier）

本质是选择 后验概率最大 的类别作为分类结果。

1. 公式解析
   $${\omega }_i=\arg \underset{i}{\max }P({\omega }_i\mid x)$$
   其中：

   • $\omega i$：第 iii 个类别（class）。
   • $x$：观测到的特征（feature）。
   • $P({\omega }_i|x)$：在给定特征 x 的情况下，类别 ${\omega }_i$发生的后验概率（posterior probability）。
   • $\arg {\max }_i$：表示寻找使得 $P({\omega }_i|x)$ 最大的 i，即找到概率最大的类别。

   这个公式的含义是：

   我们应该把观测到的样本 x 归入后验概率 $P({\omega }_i|x)$ 最大的类别。

   这就是 最大后验概率决策准则（Maximum A Posteriori, MAP）

2. 结合贝叶斯公式
   $$P({\omega }_i|x)=\frac{P(x|{\omega }_i)P({\omega }_i)}{P(x)}$$
   其中

   • $P({\omega }_i)$：类别 ${\omega }_i$发生的 先验概率（prior probability），表示该类别在总体数据中的分布情况。

   • $P(x|{\omega }_i)$：在类别${\omega }_i$的前提下，样本 x 发生的 似然（likelihood）。

     条件概率 $P(x|{\omega }_i)$ 表示：在已知样本属于类别 ${\omega }_i$ 的情况下，样本 $x$ 出现的可能性。

     我们可以用一个形象的比喻来理解这个概念：

     比喻 ：水果分类

     假设你在一个水果篮里挑选水果，水果篮里有苹果（类别 ${\omega }_1$）和橘子（类别 ${\omega }_2$）。现在，你盲选了一颗水果，并摸到了它的表面（即观察到样本特征 $x$），发现它是光滑的。

     • $P(x|{\omega }_1)$ 表示：如果这颗水果已经被确定是苹果（${\omega }_1$），那么它的表面是光滑的概率有多大。
     • $P(x|{\omega }_2)$ 表示：如果这颗水果已经被确定是橘子（${\omega }_2$），那么它的表面是光滑的概率有多大。

     如果苹果的表面通常是光滑的，而橘子的表面通常是粗糙的，则 $P(x|{\omega }_1)$ 会较大，而 $P(x|{\omega }_2)$ 会较小。

   • $P(x)$：样本 x 发生的 全概率（evidence）（x可以理解成观察到的特征），可以看作归一化因子：
     $$P(x)=\sum _{j}P(x\mid {\omega }_j)P({\omega }_j)$$

   由于 P(x) 与类别无关，在求最大值时可以忽略，所以 MAP 规则可以改写为：
   $${\omega }_i=\arg \underset{i}{\max }P(x|{\omega }_i)P({\omega }_i)$$

3. 朴素贝叶斯（Naïve Bayes）分类器
   $${\omega }_i=\arg \underset{i}{\max }P({\omega }_i)\prod _{j}P(x_j\mid {\omega }_i)$$
   我们假设所有特征独立，因此使用乘积形式（即朴素假设）。

贝叶斯决策规则 (Bayes Decision Rule)

基本概念

• 贝叶斯决策规则的目标是最小化分类错误率，即在给定观测值 x 的情况下，尽可能做出正确的分类决策。

• 两类情况的决策规则

  假设我们有 两个类别 $omeg{a}_1$ 和${\omega }_2$，当我们观察到数据 x 时，我们希望选择最可能的类别。

  $如果P(w_1|x)>P(w_2|x),则选择w_1否则w_2$

• 错误概率计算

  定义为：

  $$P(error\mid x)=minP(w_1\mid x),P(w_2\mid x)$$

  这意味着对于每一个 x，我们总是选择最大概率的类别，使得错误率尽可能小。

广义贝叶斯决策规则 (Generalized Bayes Decision Rule)

基本贝叶斯决策规则仅适用于：

1. 只有两个类别（$w_1和w_2$）。
2. 仅基于后验概率做决策，假设错误的代价相同。

但在实际应用中，很多问题并不是简单的二分类问题，而是：

• 有多个类别（不止两类）。
• 有多个特征（不止一个 x）。
• 采取的行动不仅仅是分类（可能有多种决策）。
• 不同的决策可能有不同的损失（错误分类的代价可能不同）。

广义贝叶斯决策规则通过引入损失函数 (Loss Function) 和期望损失 (Risk)，来实现更一般化的决策方法。允许多个特征和类别

• 多个特征：数据 x 可能属于 d 维欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^d$。
• 多个类别：我们可能有 c 个类别 ${\omega }_1,{\omega }_2,...,{\omega }_c$。
• 多种可能的行动 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_a$，其中 a 可能与 c 不同。

引入损失函数 (Loss Function)

• 在某些情况下，我们不仅关心分类是否正确，还关心错误的代价。例如，在医学诊断中，误诊为癌症的代价远大于误诊为健康。为此，我们引入损失函数 $\lambda$，用来衡量决策错误的代价：
  $$\lambda :\Omega \times A\to R$$
  其中：

  • $\Omega$ 是类别集合，即${\omega }_1,{\omega }_2,...,{\omega }_c$。
  • A 是可能的决策集合，即 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_a$。
  • $\lambda ({\alpha }_i\mid {\omega }_j)$表示当真实类别是 $ \omega_j$但我们选择 ${\alpha }_i$ 时的损失。

  例如：

  • 正确分类： $\lambda ({\alpha }_i\mid {\omega }_i)=0$ （没有损失）。
  • 错误分类： $\lambda ({\alpha }_i\mid {\omega }_j)$ 可能不相等，例如错诊癌症的损失远大于误诊普通感冒。

最小化期望损失 (Risk Minimization)

• 由于真实类别 ${\omega }_j$ 是不确定的，我们不能直接最小化损失，而应该最小化期望损失（又称风险 (Risk)）：
  $$R(\alpha \mid x)=\sum _{j=1}^{c}P({\omega }_j\mid x)\lambda ({\alpha }_i\mid {\omega }_j)$$
  其中：

  • $P({\omega }_j\mid x)$) 是给定 x 时，类别 ${\omega }_j$ 发生的后验概率。
  • $\lambda ({\alpha }_i\mid {\omega }_j)$ 是决策 ${\alpha }_i$ 时，真实类别是 ${\omega }_j$ 所造成的损失。

  最终的决策规则是：
  $${\alpha }_{\ast }=\arg \underset{{\alpha }_i}{\min }R({\alpha }_i\mid x)$$

  即选择使得期望损失最小的决策 ${\alpha }^{\ast }$。

广义贝叶斯决策规则在两分类决策中的具体应用

• 对于两分类情况，我们有两个类别：
  Ω={ω1,ω2} \Omega = \{ \omega_1, \omega_2\} Ω={ω1​,ω2​}
  以及对应的决策动作：
  A={α1,α2} A = \{ \alpha_1, \alpha_2 \} A={α1​,α2​}
  在上一部分，我们已经得出：
  $$\begin{array}{l}R\left({\alpha }_1\mid x\right)={\lambda }_{11}P\left({\omega }_1\mid x\right)+{\lambda }_{12}P\left({\omega }_2\mid x\right)\\ R\left({\alpha }_2\mid x\right)={\lambda }_{21}P\left({\omega }_1\mid x\right)+{\lambda }_{22}P\left({\omega }_2\mid x\right)\end{array}$$
  我们的决策准则是选择能使风险最小的决策：
  $$\begin{array}{c}\text{ 如果 }R\left({\alpha }_2\mid x\right)>R\left({\alpha }_1\mid x\right)\text{ ，则选择 }{\alpha }_1\end{array}$$
  即：
  $${\lambda }_{21}P\left({\omega }_1\mid x\right)+{\lambda }_{22}P\left({\omega }_2\mid x\right)>{\lambda }_{11}P\left({\omega }_1\mid x\right)+{\lambda }_{12}P\left({\omega }_2\mid x\right)$$
  进一步整理得到：
  $$\left({\lambda }_{21}-{\lambda }_{11}\right)P\left({\omega }_1\mid x\right)>\left({\lambda }_{12}-{\lambda }_{22}\right)P\left({\omega }_2\mid x\right)$$
  转换为似然比形式： 我们使用贝叶斯公式：
  $$P\left({\omega }_i\mid x\right)=\frac{p\left(x\mid {\omega }_i\right)P\left({\omega }_i\right)}{p(x)}$$
  于是：
  $$\left({\lambda }_{21}-{\lambda }_{11}\right)\cdot \frac{p\left(x\mid {\omega }_1\right)P\left({\omega }_1\right)}{p(x)}>\left({\lambda }_{12}-{\lambda }_{22}\right)\cdot \frac{p\left(x\mid {\omega }_2\right)P\left({\omega }_2\right)}{p(x)}$$
  消去分母 p(x)：
  $$\left({\lambda }_{21}-{\lambda }_{11}\right)p\left(x\mid {\omega }_1\right)P\left({\omega }_1\right)>\left({\lambda }_{12}-{\lambda }_{22}\right)p\left(x\mid {\omega }_2\right)P\left({\omega }_2\right)$$
  最终可以转换为似然比测试：
  $$\eta =\frac{\left({\lambda }_{12}-{\lambda }_{22}\right)P\left({\omega }_2\right)}{\left({\lambda }_{21}-{\lambda }_{11}\right)P\left({\omega }_1\right)}$$
  那么决策规则可以表述为：
  $$如果\frac{p\left(x\mid {\omega }_1\right)}{p\left(x\mid {\omega }_2\right)}>\eta ，则选择{\alpha }_1。否则，选择{\alpha }_2$$
  这个决策准则表示：

  • 如果某个观测数据 $x$ 使得类别 ${\omega }_1$ 的后验概率更大（超过一个特定的阈值 $\eta$ ），则我们选择类别 ${\omega }_1$
  • 否则，选择类别 ${\omega }_2$ 。

  这个形式是一个最优判别函数，它利用了损失函数 $\left({\lambda }_{ij}\right)$ 和类别的先验概率 $\left(P\left({\omega }_i\right)\right)$ 来确定决策边界。

判别函数

在模式识别（Pattern Recognition）和统计分类（Statistical Classification）中，判别函数用于决定数据点 $x$ 属于哪个类别 ${\omega }_i$。在多分类（Multicategory）问题中，每个类别 ${\omega }_i$ 都有一个判别函数 $g_i(x)$，其定义如下：
$$g_i(x):{\mathbb{R}}^d\to \mathbb{R},1\le i\le c$$
其中：

• $c$ 是类别数
• $x$ 是输入样本
• $g_i(x)$ 是类别 ${\omega }_i$ 的判别函数

分类器的决策规则是：

$$\alpha (x)=\arg \underset{i}{\max }{g}_i(x)$$

• 最小风险判别（Minimum Risk Case）

  在最小风险（Minimum Risk）分类中，判别函数通常被定义为：
  $$g_i(x)=-R({\alpha }_i|x)$$
  其中，$R({\alpha }_i|x)$ 是给定样本 $x$ 采取分类决策 ${\alpha }_i$ 的风险（Risk）。

• 最小错误率判别（Minimum Error-Rate Case）

  最小错误率（Minimum Error-Rate）决策规则基于后验概率：
  $$g_i(x)=P({\omega }_i|x)$$
  即，我们将样本 $x$ 分配给具有最大后验概率的类别。

  根据贝叶斯公式：
  $$P({\omega }_i|x)=\frac{p(x|{\omega }_i)P({\omega }_i)}{p(x)}$$
  若 $p(x)$ 在所有类别上都相同，则可以简化为：
  $$g_i(x)=p(x|{\omega }_i)P({\omega }_i)$$
  在对数域下：
  $$g_i(x)=\ln p(x|{\omega }_i)+\ln P({\omega }_i)$$

• 决策区域（Decision Regions）

  在多分类问题中，我们通过判别函数划分 决策区域（Decision Region），即：
  Ri={x∣gi(x)>gj(x),∀j≠i} R_i = \{ x | g_i(x) > g_j(x), \forall j \neq i \} Ri​={x∣gi​(x)>gj​(x),∀j=i}
  两个类别之间的 决策边界（Decision Boundary） 由：
  $$g_i(x)=g_j(x)$$
  所决定。

• 正态分布（Normal Distribution）

  在许多实际应用中，类条件概率密度函数 $p(x|{\omega }_i)$ 假设服从 正态分布（Gaussian Distribution）：
  $$p(x|{\omega }_i)=\frac{1}{(2\pi {)}^{d/2}|{\Sigma }_i{|}^{1/2}}\exp \left(-\frac{1}{2}(x-{\mu }_i{)}^T{\Sigma }_i^{-1}(x-{\mu }_i)\right)$$
  其中：

  • ${\mu }_i$ 是类别 ${\omega }_i$ 的均值向量
  • ${\Sigma }_i$ 是类别 ${\omega }_i$ 的协方差矩阵
  • $d$ 是特征维度

  当协方差矩阵 ${\Sigma }_i$ 相同时，最优决策边界是线性的（线性判别分析 LDA）；当协方差矩阵不同，则决策边界为二次曲线（二次判别分析 QDA）。

• 期望（Expectation）

  随机变量 $X$ 的期望（Expectation）定义为：

  • 离散型：
    $$E[X]=\sum _{x}xP(X=x)$$

  • 连续型：
    $$E[X]={\int }_{-\infty }^{\infty }xp(x)dx$$

  • 均值（Mean）：
    $${\mu }_X=E[X]$$

  • 方差（Variance）：
    $${\sigma }_X^2=E[(X-{\mu }_X{)}^2]=E[X^2]-(E[X]{)}^2$$

• 熵（Entropy）

  • 熵（Entropy）衡量一个随机变量的不确定性。熵应量化随机变量的“不确定性”或“信息量”。事件越不可预测（概率越低），其发生时提供的信息量应越大。均匀分布时熵最大（不确定性最高），确定分布时熵最小（零）。

    • 确定分布（如 $P(x_1)=1$）：熵为 0（无不确定性）。
    • 均匀分布（如 $P(x_i)=1/N$：熵为 $\log N$（最大值）。

  • 首先定义单个事件 $x_i$的“信息量”（或“惊喜程度”）：
    $$I(x_i)=-\log P(x_i)$$

  • 熵需要反映随机变量整体的不确定性，而非单个事件的信息量。因此熵是信息量的期望值（即平均信息量）：

    • 对于离散型：
      $$H(X)=\mathbb{E}[I(X)]=\sum P(x_i)I(x_i)=-\sum P(x_i)\log P(x_i)$$

    • 对于连续型：
      $$H(X)=-\int P(x)\log P(x)dx$$