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数学
高等数学 大约2026年5月20号发布

预习

指数函数

指数函数是$a^x$，a是常量,x是变量。
$x\in \mathbb{Q},x\notin \mathbb{Z},a>0$指数函数的含义：$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p},p,q\in \mathbb{Z}$
当底数为负数、指数为非整数时，在实数范围内可能没有定义。
$a^x\times a^y=a^{x+y},a>0,x,y\in \mathbb{R}$
$a^{-x}=\frac{1}{a^x},a>0,x\in \mathbb{R}$
$a^x>0,a>0,x\in \mathbb{R}$
$a>0,a^{x\times y}=(a^x{)}^y$
$x^y=(e^{\ln x}{)}^y=e^{y\ln x},x,y\in \mathbb{R},x>0$
$a^{\frac{p}{q}}=(\sqrt[q]{a}{)}^{p}a\in \mathbb{R}+,p\in \mathbb{Z}，q\in \mathbb{Z}+$
$q\in \mathbb{Z}+,0<a<1\to 0<a^q<1;a>1\to a^q>1$
$q\in \mathbb{Z}+,令x=\sqrt[q]{a}\to x^q=a。0<x<1,则0<a<1；x>1，则a>1$
即 a> 1，a的q次方和开q次方，都大于1；0<a<1，a的q次方和开q次方都小于1。即$a>1,a^x>1,x\in \mathbb{R}+;0<a<1,a^x<1$。对于任意容差，任意有理数都可以找到一个相等的有理数。故性质可以推广到无理数。

$a^x，a>0$地单调性

$1^x\equiv 1$
a>1，$a^x$是严格单调递增
$a^{x+\Delta }=a^x\times a^{\Delta },a^x>0，a^{\Delta }>0$。
如果a>1，则$a^{\Delta }>1\to a^{x+\Delta }>a^x$，得证。
同理：0<a<1，$a^x$单调递减。
推论一 $a^x=a^y,a>0⟺x=y$
推论二：$a>0,a\ne 1,a^x和lo{g}_{a}x$单调性同。

对数运算

乘法：${\log }_b(xy)=lo{g}_{b}x+lo{g}_{b}y$
除法：${\log }_b(\frac{x}{y})=lo{g}_{b}x-lo{g}_{b}y$
幂法则：${\log }_b{x}^a=alo{g}_{b}x$
换底公式：${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{k}b}{{\log }_{k}a}$
乘法证明：$b^{lo{g}_{b}x+lo{g}_{b}y}=b^{lo{g}_{b}x}\times b^{lo{g}_{b}y}=xy$ ，根据推论一，可以证明乘法法则。
幂法则：根据乘法法则，$lo{g}_b{x}^a是a个lo{g}_{b}x$相加。
换底公式：$x=lo{g}_{a}b,b=a^x。lo{g}_{k}b=lo{g}_k{a}^x=x\times lo{g}_{k}a\to x=lo{g}_{k}b÷lo{g}_{k}a$

不存在周小周期的周期函数

周期函数：$\forall x,\exists 正实数L$f(x)=f(L+x)。

下述函数存在周期不存在最小周期

$\{\begin{array}{ll}1& x是有理数\\ 0& x是无理数\end{array}$
有理数是可以表示为 两个整数之比（分数形式）的数。即$\frac{a}{b}a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0$。
令l = $a÷b$。
性质一：如果x($c÷d$)是有理数，则x+l也是有理数。$a÷b+c÷d=(a\times d+c\times b)÷(b\times d)$是有理数。
性质二：如果x是无理数，则x+l是无理数。可以用反证法证明：令l+x是无理数$c÷d$,则x=$c÷d-a÷b=(b\times c-a\times d)÷(b\times d)$。即x也是有理数，无理数。

函数的极限与界

函数f(x)在某个去心邻域有定义，如果存在常数L，使得$\forall ϵ,ϵ>0,\exists \delta$。任意0 <|x-x0|<$\delta$,都有|f(x)-L|<$ϵ$。
则称L是f(x)当x趋于x0时的极限。记作${\lim }_{x\to x0}f(x)$
极限存在 $⟺$ 左极限和右极限存在且相等。
函数f(x)在集合D上有界，即$\forall x\in D$, |f(x)|<=M。
极限存在$\to$ 局部有界。

有界函数不一定有极限

一，震荡函数，如f(x)=$sin(1÷x),x\ne 0$，界是1，x趋于0时，无极限。
二，分段函数。如符号函数。
$\{\begin{array}{llc}1& & x>0\\ 0& & x==0\\ -1& & x<0\end{array}$
x趋于0时，左右极限是-1,1不等。

数列的极限与界

数列{$a_n$}，$\forall 正实数ϵ,\exists N$,当n > N时。
|$a_n-L$|< $ϵ$,则称数列{$a_n$}收敛于L，记作$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=L$或$a_n\to L(x\to \infty )$
数列{$a_n$}的界是M，$\forall n$,|$a_n|\le M$

无穷小

函数无穷小的定义

x趋于$x_0$，f(x)的极限是0。
x趋于$\infty$，f(x)的极限是0。

无穷小的运算

定理一：有限个无穷小之和仍然是无穷小。x趋于$x_0$,f(x)的容差为$ϵ÷2$,对应的$\delta 为d1$；
g(x)容差为$ϵ÷2$对应的$\delta$为d2。则f(x)+g(x)对应的$\delta$为min(d1,d2)。
定理二：有限个无穷小的差仍然是无穷小。f(x)-g(x)$⟺$f(x)+(-g(x))。
定理三：无穷小与有界量的积是无穷小。f(x)容差为$ϵ÷M$对应的$\delta$为d。则
Mf(x)在$\delta$为d时，Mf(x) < $ϵ$。
推理一：无穷小和常数的乘积是无穷小。
推理二：无穷小的乘积是无穷小。
定理四：无穷小的线性组合是无穷小。

极限的四则运算

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A,\underset{x\to a}{\lim }g(x)=B$,A和B是有限实数。
$\underset{x\to a}{\lim }(f(x)\pm g(x)）=A\pm B$
$\underset{x\to a}{\lim }(f(x).g(x)）=A.B$ 推论：C是常数，$f(x{)}^C=A^C$
$\underset{x\to a}{\lim }(f(x)÷g(x)）=A÷B,B\ne 0$
除法不好理解，下面来证明：$f(x0)=A+ϵ1,g(x_0)=B+ϵ2,令容差为ϵ$
$\frac{A+ϵ1}{B+ϵ2}<\frac{A+Bϵ}{B}$
$\to AB+Bϵ1<AB+Aϵ2+BBϵ+Bϵϵ2$ 左右两边乘以分母
$Bϵ1-Aϵ2<(BB+Bϵ2)ϵ$
显然有解，如果两边乘以负数，符号会变化，但一定有解。B不是0，也不是无穷小，故$B+ϵ2,BB+Bϵ2$都不是0。

两个重要的极限

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

$△OAB$的面积是：$底\times 高=|OB|\ast |AC|/2=1\times \sin x÷2$
扇形OAB的面积= $1÷2\times x\times 1\times 1=x÷2$
$△OBD$的面积是:$1\ast \tan x÷2$
三者的面积依次增大，故$\sin x<x<\tan x$
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{\sin x}=1$
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{\sin x}=\cos x=1$
根据夹逼准则，因为：$\sin x÷\sin x<x÷\sin x<\tan x÷\sin x$。
所以：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin x}=1$
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\lim 1÷\lim \frac{x}{\sin x}$

常见推论

三角函数的等价极限
sinx tan x arcsin x arctan x	x	等价无穷小
$1-\cos x$	$x^2÷2$	等价无穷小
$1-\sec x$	$-x^2÷2$	等价无穷小

$\underset{x\to 0}{\lim }\tan x÷x=\sin x÷x÷\cos x=1÷\cos x=1$
$\underset{x\to 0}{\lim }(1-\cos x)÷x^2=\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}=\frac{1-{\cos }^{2}x}{x^2(1+\cos x)}=\frac{{\sin }^{2}x}{x^2(1+\cos x)}=1÷(1+cosx)=\frac{1}{2}$
$\underset{x\to 0}{\lim }\arcsin x÷x=1$证明过程如下：
令$x=\sin t\to \arcsin x=t$
则$\underset{x\to 0}{\lim }\arcsin x÷x=\underset{t\to 0}{\lim }t÷\sin t=1$
​$\underset{x\to 0}{\lim }\arctan x÷x=1$
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\sec x}{x^2}=\frac{\cos x-1}{\cos x}÷x^2=-1÷2÷cosx=-1÷2$

自然对数的底

$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{1+x}{x}{)}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$
$(1+\frac{1}{n}{)}^n={\sum }_{i:0}^n{C}_n^0{1}^{n-i}(\frac{1}{n}{)}^i$
$a_n$第i项 = $\frac{n\times n-1\times \cdots n-(n-i)+1}{(n{)}^i\times i!}<\frac{1}{i!}$
第0到第2项分别是：$1+1+(1-\frac{1}{2})$
第i项< $\frac{1}{(i-2)!}(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i})<\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i}$,i > 2
故其和<3，即有上界。
$a_n$第i项 = $(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots ÷i!$
$a_{n+1}$第i项 = $(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots ÷i!$
显然$a_n$的第i都小于$a_{n+1}$项，$a_{n+1}$还多第n+1项，故$a_{n+1}>a_n$。故数列$a_n$单调。
单调有界$=>$有极限。
e的定义$=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e\approx 2.78,n\in \mathbb{Z}$
下面利用夹逼准则来证明，$x\in \mathbb{R}$。
n = $\lfloor x\rfloor$ $f(x)=(1+\frac{1}{n}{)}^n,g(x)=(1+\frac{1}{n+1}{)}^{n+1}$
$f(x)\le (1+\frac{1}{x}{)}^x<g(x)$，而f(x)和g(x)的极限是e，故 x $\in \mathbb{R}$，其极限也是e。
等价形式：$\underset{t\to 0}{\lim }(1+t{)}^{\frac{1}{t}}=e$
更一般形式：$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{k}{x}{)}^x=e^k$

推导导数

$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a\to (e^x{)}^{\prime }=e^x$ 证明比较复杂，本章不证明。
$\lim (1+\frac{k}{x}{)}^x=\lim [(1+\frac{1}{x÷k}{)}^{x÷k}{]}^k=e^k$

推论

等价形式，两边取自然对数：
左边$=ln(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=\frac{\ln (1+x)}{x}$，右式子=1 即$=\frac{\ln (1+x)}{x}=1$推论一
$t=e^x-1\to x=ln(t+1)$
推论一：$\frac{\ln (t+1)}{t}=\frac{x}{e^x-1}=1$ 推论二

等价(~)无穷小

$e^{x\ln a}=(e^{\ln a}{)}^x=a^x$
$\to a^x-1=e^{x\ln a}-1$
令$u=x\ln a,e^{x\ln a}-1=e^u-1=u=x\ln a$
$\to a^x-1$ ~$x\ln a$ $x\to 0,a>0,a\ne 1$

$(1+x{)}^a=(e^x{)}^a=e^{xa}$ u=xa，根据$e^u=1+u$
$e^{xa}=1+ax$
即：$(1+x{)}^a=1+ax$
即$(1+x{)}^a-1\sim ax$

指数和对数
$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x$	e	等价无穷小
$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$	e	等价无穷小
$\underset{x\to 0}{\lim }\ln (1+x)$	x	等价无穷小
$\underset{x\to 0}{\lim }{e}^x-1$	x	等价无穷小
$\underset{x\to 0}{\lim }{a}^x-1$	$x\ln a$	等价无穷小，a>0,$a\ne 1$

定理

$\alpha \sim {\alpha }^{\prime },\beta \sim {\beta }^{\prime },\lim \frac{{\alpha }^{\prime }}{{\beta }^{\prime }}存在$，则$\lim \frac{\alpha }{\beta }=\lim \frac{{\alpha }^{\prime }}{{\beta }^{\prime }}$

间断点类型

左右极限都存在

可去间断点（Removable Discontinuity）

左右极限相等，函数无定义或函数值和极限不相等。
一， $$\{\begin{array}{llc}1& & x==0\\ x& & other\end{array}$$
$x\to 0$,左右极限是0，函数值是1。
二，f(x)=$\frac{\sin x}{x}，x\to 0，函数无定义，其极限是1$。

跳跃间断点（Jump Discontinuity）

左右极限都存在，但不等。
如符合函数：
$$\{\begin{array}{llc}1& & x>0\\ 0& & x==0\\ -1& & x<0\end{array}$$
$x\to 0$是，左极限-1，右极限1。
如：绝对值函数：f(x)=|x|。
取整函数也是。

第二类间断点

至少一个极限不存在。

无穷间断点

至少一个极限是无穷。
f(x)=$\frac{1}{x},x\to 0$,左右极限是$-\infty ,+\infty$。
f(x)=$\tan x,x\to \pi ÷2$,左右极限是$+\infty$

振荡间断点（Oscillatory Discontinuity）

定义：当$x\to 0$时，函数值无限振荡，没有确定的极限。
$$\{\begin{array}{llc}1& & x==0\\ \sin (1÷x)& & other\end{array}$$
左右极限在[-1,1]直接震荡。

其它第二类点

不赘述。

区间连续函数的性质

设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，如果在(a,b)内每一点连续，在a右连续，在b左连续，则称f(x)在[a,b]连续。
性质一：有界性定理：如果$f\in C[a,b]连续，则f在[a,b]有界。即存在常数M>0，使得|f(x)|\le M,\forall x\in [a,b]$
半开区间则不一定成立，如：f(x)=$\frac{1}{x}$在区间(0,1]无上界。

性质二：最值定理
若$f\in C[a,b]$，则f在[a,b]上必定能取到最大（小)值。
开区间不一定成立。如果f(x)=x，在左开右开区间(0,1)没有最小值，也没有最大值。
不连续也不一定，如：
$$\{\begin{array}{llc}x& & x>0\\ 0.5& & x==0\\ -x& & x<0\end{array}$$
在区间[-1,1]就没有最小值。
性质三：介质定理

若$f\in C[a,b]$，且f(a)$\ne$f(b)。则对于任意介于f(a)和f(b)之间的数C，必定存在$c\in (a,b)，f(c)=C$
推论（零点定理）：即C=0。

单调且有界则必定有极限

数列{$x_n$}满足$x1\in (0,\pi ),x_{n+1}=\sin x_n,n\in Z+$,求$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}_n$。
$x_{2\cdots +\infty }\in (0,1)$ 即有下界。
$x\in (0,\pi )，\sin x<\pi$，即单调减少。
$n\to \infty ,x_{n+1}=x_n=极限,即x_n=sin{x}_n，即x_n=0$
f(x)=$x-\sin x,f(0)=0f(x{)}^{\prime }=1-\cos x$，即f(x)单调增加,故0<x <$\pi$,x > sinx。

易错题

存在以下情况：f(x)在$x_0$的某去心邻域无界，但极限不是$\infty$(极限不存在)。如：$f(x)=1÷\sin \frac{1}{x},x\to 0$，时左右极限不存在。$x\to 0时,1÷x\to +\infty ,\sin (1÷x)在[-1,1]震荡，即在去心邻域内可能是1,-1,+\infty ,-\infty$

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或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。