线性算子与矩阵表示

_勇

1881人浏览 · 2026-04-01 00:30:00

_勇 · 2026-04-01 00:30:00 发布

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引言

在量子力学中，量子态由向量空间中的向量（右矢）描述，而可观测量的测量、量子态的演化等操作则由线性算子描述。线性算子是向量空间之间保持加法与数乘结构的映射，它构成了从抽象代数结构到具体矩阵计算的桥梁。本章将从线性算子的定义出发，介绍其矩阵表示、向量外积、对角表示以及投影算子，为理解量子门、测量和密度矩阵奠定数学基础。

一、线性算子

1.1 定义

设 $V$ 和 $W$ 是数域 $K\mathbb{K}$ 上的向量空间。一个映射 $\to W$ 称为线性算子（或线性映射），如果对任意 $v1,v2∈Vv_1, v_2 \in V$ 和任意标量 $\in \mathbb{K}$ ，满足：

加法保持： $A(v_1 + v_2) = A(v_1) + A(v_2)$ ；
数乘保持： $A(c v_1) = c A(v_1)$ 。

线性算子的典型例子包括：

正比例函数 $f (x) = k x$ （ $R→R\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ）；
零算子 $\to W$ ，将任意向量映射为零向量；
单位算子 $IV:V→VI_V: V \to V$ ，将每个向量映射到自身。

1.2 基本性质

由定义可直接推出：

$A (0) = 0$ ；
$A(∑i=1ncivi)=∑i=1nciA(vi)A\left(\sum_{i=1}^n c_i v_i\right) = \sum_{i=1}^n c_i A(v_i)$ 。

线性算子的合成（复合）仍是线性算子，且满足结合律。

二、线性算子的矩阵表示

2.1 基下的矩阵

线性算子的抽象性可以通过选择基来具体化。设 $V$ 和 $W$ 是有限维向量空间， $B={v1,…,vn}\mathcal{B} = \{v_1,\dots,v_n\}$ 是 $V$ 的一组基， $C={w1,…,wm}\mathcal{C} = \{w_1,\dots,w_m\}$ 是 $W$ 的一组基。对于线性算子 $\to W$ ，每个 $A(v_j)$ 属于 $W$ ，故可唯一表示为 $C\mathcal{C}$ 的线性组合：
$A(v_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} w_i, \quad j = 1,\dots,n.$
系数矩阵
$[A]_{\mathcal{C},\mathcal{B}} = (a_{ij})_{m\times n}$
称为线性算子 $A$ 在基 $B\mathcal{B}$ （输入基）和基 $C\mathcal{C}$ （输出基）下的矩阵表示。

关键结论：在给定基下，线性算子的作用等价于矩阵乘法。设向量 $\in V$ 在基 $B\mathcal{B}$ 下的坐标为 $x=(x1,…,xn)T\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n)^\mathrm{T}$ ，则 $A (v)$ 在基 $C\mathcal{C}$ 下的坐标为：
$[A(v)]_{\mathcal{C}} = [A]_{\mathcal{C},\mathcal{B}} \cdot \mathbf{x}.$
因此，选择基后，线性算子与矩阵完全对应。

2.2 对偶向量作为线性算子

向量空间 $V$ 上的线性泛函（即从 $V$ 到数域 $K\mathbb{K}$ 的线性算子）构成对偶空间 $V^*$ 。在量子力学中，左矢 $⟨ψ∣\langle \psi |$ 正是对偶向量。若在标准正交基下， $⟨ψ∣\langle \psi |$ 的矩阵表示是一个行向量，作用在右矢 $\phi \rangle$ 的列向量上即得内积 $⟨ψ∣ϕ⟩\langle \psi | \phi \rangle$ 。

三、向量外积

3.1 定义

给定两个向量 $∣ψ⟩∈V|\psi\rangle \in V$ 和 $⟨ϕ∣∈V∗\langle \phi | \in V^*$ ，定义外积 $∣ψ⟩⟨ϕ∣|\psi\rangle \langle \phi|$ 为从 $V$ 到 $V$ 的线性算子：
$(|\psi\rangle \langle \phi|) \, |\chi\rangle = \langle \phi | \chi \rangle \, |\psi\rangle, \quad \forall |\chi\rangle \in V.$
若在标准正交基 ${∣ei⟩}\{|e_i\rangle\}$ 下， $∣ψ⟩=∑iψi∣ei⟩|\psi\rangle = \sum_i \psi_i |e_i\rangle$ ， $⟨ϕ∣=∑jϕj∗⟨ej∣\langle \phi | = \sum_j \phi_j^* \langle e_j|$ ，则外积的矩阵表示为：
$|\psi\rangle \langle \phi| \quad \longleftrightarrow \quad (\psi_i \phi_j^*)_{i,j}.$
这是一个秩为1的矩阵（除非 $∣ψ⟩|\psi\rangle$ 或 $∣ϕ⟩|\phi\rangle$ 为零）。

3.2 与内积的关系

外积与内积紧密相连： $⟨ϕ∣ψ⟩\langle \phi | \psi \rangle$ 是数，而 $∣ψ⟩⟨ϕ∣|\psi\rangle \langle \phi|$ 是算子。外积的合成满足：
$(|\psi\rangle \langle \phi|)(|\chi\rangle \langle \tau|) = |\psi\rangle \langle \phi | \chi \rangle \langle \tau| = \langle \phi | \chi \rangle \, |\psi\rangle \langle \tau|.$

四、对角表示与投影算子

4.1 对角表示

若线性算子 $A$ 可以表示为：
$\sum_i \lambda_i |\lambda_i\rangle \langle \lambda_i|,$
其中 ${∣λi⟩}\{|\lambda_i\rangle\}$ 是一组标准正交基，且 $A∣λi⟩=λi∣λi⟩A|\lambda_i\rangle = \lambda_i |\lambda_i\rangle$ ，则称该表达式为 $A$ 的对角表示（或称谱分解）。显然，此时 $A$ 是正规的（ $A†A=AA†A^\dagger A = A A^\dagger$ ）。

定理：有限维向量空间上的线性算子 $A$ 是正规算子当且仅当它在某个标准正交基下可以对角表示。特别地，厄米算子（ $A†=AA^\dagger = A$ ）和酉算子（ $A†A=IA^\dagger A = I$ ）都是正规的，因此都可以对角表示。

4.2 投影算子

设 $W$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的 $k$ 维子空间， ${∣e1⟩,…,∣ek⟩}\{|e_1\rangle,\dots,|e_k\rangle\}$ 是 $W$ 的一组标准正交基。定义到 $W$ 上的投影算子为：
$P_W = \sum_{i=1}^k |e_i\rangle \langle e_i|.$
显然 $P_W$ 是厄米的，且满足 $P_W^2 = P_W$ （幂等性）。其正交补投影为：
$P_{W^\perp} = I - P_W = \sum_{i=k+1}^n |e_i\rangle \langle e_i|,$
其中 ${∣ek+1⟩,…,∣en⟩}\{|e_{k+1}\rangle,\dots,|e_n\rangle\}$ 是 $W⊥W^\perp$ 的一组标准正交基。投影算子在量子力学中描述测量：测量结果为某一子空间时，态矢投影到该子空间。